Podemos ser más cuantitativos en caracterizar este aumento, p.ej. para la cuerda bosónica cerrada en el espacio de Minkowski 26d. Si denotamos N el valor del operador número para un estado del espacio de Hilbert left, el número de estados está relacionado con las posibles maneras de repartir esas N unidades de oscilación entre los posibles osciladores elementales (las α's). El número de estas particiones depende de factoriales, y crece rápidamente. De hecho para N grande el número de particiones de N entre osciladores asociados a "b" direcciones espacio-temporales, se comporta como
En la cuerda bosónica cerrada tenemos que hacer estas particiones para los left y los right, el número de particiones es el cuadrado de la expresión anterior. Metiendo que b=24 y la fórmula de masas (para N grande) M=(2N/α')^{1/2}, el número de estados al nivel de energías N es
Este crecimiento exponencial es muy peculiar y lleva al siguiente fenómeno. Cuando uno considera una teoría a temperatura finita T, las contribuciones de un estado de energía (0 masa) M están suprimidas por la exponencial de Boltzmann e^{-M/T}, de forma que la termodinámica está dominada por los estados ligeros del sistema. En teoría de cuerdas, sin embargo, el crecimiento exponencial en el número de estados hace que a cierta temperatura esta degeneración exponencial contrarreste la supresión exponencial de Boltzmann. Esta temperatura, denominada de Hagedorn, se obtiene igualando las exponenciales y corresponde a
A esta temperatura la dinámica está dominada justamente por los estados más excitados de la cuerda. Esto cambia muchas de las intuiciones termodinámicas usuales!
Por ejemplo, la intepretación más inmediata (que cualificaremos más adelante) es que la temperatura de Hagedorn es una TEMPERATURA MÁXIMA para teoría de cuerdas. Si uno intenta dar más calor al sistema, esa energía se tiene que repartir entre tantos estados accesibles (por la equipartición de la energía) que no conlleva ningún aumento de la temperatura (que puede verse como medida de la energía por estado del sistema).
En realidad, se piensa que la temperatura de Hagedorn indica una transición de fase en la que cambia la naturaleza de los grados de libertad fundamentales, es decir una temperatura máxima para la fase descrita por los grados de libertad usuales de la teoría. Como veremos en una próxima entrada, la transición está asociada a la aparición de una inestabilidad (un taquión) y de momento se desconoce cuáles son los grados de libertad adecuados a altas temperaturas...
O sea, que si nos tomamos la transición de fase MUY EN SERIO, la teoría de cuerdas no es del todo esencialmente fundamental y las cuerdas no son una buena descripción en ese régimen...¡Qué guay!...A nivel conceptual, se me ocurre comparar la temperatura de Hagedorn con la de Planck,...A priori no son la misma y sin embargo guardan una similitud: más allá de la temperatura de Planck o Hagedorn, nuestras teorías ( gravitacional o de cuerdas ) pierden su su significado porque ya no valen ahí. Sin embargo, tal y como yo lo veo, la clave del problema parece ser la propia naturaleza de teoría de campos de dichas teorías. En campos eso ya lo vemos en el fondo con el problema de la renormalización, pero me hace gracia descubrir que teoría de cuerdas al final tiene un problema similar, que en el fondo uno puede pensar razonable ya que tenemos aún "infinitos modos" de oscilación posibles a alta energía. Eso no me parece razonable. Otra idea que evitaria que explotara la exponencial sería cambiar la energía M por su inverso...en plan Born-reciprocity transformation, y entonces la exponencial convergería y no explotaría...
ResponderEliminarRealmente no soy ningún experto en termodinámica de cuerdas, pero se podría hablar largo y tendido de todos estos temas. Hay varios artículos que discuten el diagrama de fases de la teoría de cuerdas, variando la temperatura y también la constante de acoplamiento gs. Esto es particularmente importante para enchufar gravedad, y estudiar la transición entre cuerdas muy energéticas y excitadas y agujeros negros. Es ahí donde jugaría un papel la escala de Planck (que depende del acoplamiento, no sólo de Ms).
ResponderEliminarPor otro lado, el régimen de temperaturas ultra-altas podría no ser tan misterioso. Como se explica en la entrada siguiente, poner temperatura finita es como compactificar un tiempo euclídeo. Si uno permite Tdualidad en ese círculo, el régimen de temperaturas ultra-altas sería Tdual al de temperaturas bajas!