El dilatón es un campo modulus

Ayer comentamos en clase que el radión es un ejemplo de los denominados campos moduli, campos escalares de la teoría espacio-temporal, con potencial idénticamente cero, en particular sin término de masa. Los valores de expectación en el vacío (vevs) de los campos moduli típicamente corresponden a algún parámetro continuo del modelo o la compactificación. Por ejemplo, el vev del radión en compactificaciones de una dimensión en el círculo corresponde al tamaño del círculo de compactificación.

Como se ha señalado en un comentario a otra entrada, el dilatón es otro ejemplo de un campo modulus. Es un escalar sin masa, y se puede verificar que su potencial es idénticamente cero. Una pregunta natural es qué parámetro del modelo está determinado por el vev del dilatón. Como el dilatón existe en la teoría incluso antes de compactificar, tiene que corresponder a un parámetro que exista en la teoría incluso cuando se formula en el espacio de Minkowski. La respuesta es que el vev del dilatón está relacionado con la constante de acoplamiento gs de la cuerda, que controla el peso que se asocia a los vértices de interacción fundamentales.

Una manera de verlo es describir la propagación de una cuerda en un background general φ(x) del dilaton. Aunque no es obvio, esto viene descrito por una modificación de la acción en la worldsheet, añadiendo un término

donde R[g] es el escalar de curvatura en la worldsheet. Este acoplo es una manera natural de acoplar un escalar espacio temporal a los grados de libertad de la worldsheet (hay otras razones, que no menciono ahora, para esta propuesta). Si el background del dilatón es constante, es decir un vev, se puede sacar de la integral. En 2d la integral del escalar de curvatura es un invariante topológico, la característica de Euler χ,

(donde g es el numero de asas) con la que estaréis familiarizados los que hayáis pensado en el ejercicio 1. En presencia de un vev del dilatón, la acción de la worldsheet pesca un término aditivo constante dado por χφ. Esto implica que al calcular cualquier amplitud, en la path integral tendremos un peso dado por exp(χφ). Esto coincide exactamente con los resultados del ejercicio 1, con la identificación

Esta relación implica que el vev del dilatón corresponde a la constante de acoplamiento de la cuerda.

El hecho de que los parámetros en teorías de cuerdas sean vevs de campos dinámicos implica que es concevible que se determinen de forma dinámica, mediante mecanismos que generen potenciales para los campos moduli. Es el denominado problema de la estabilización de moduli, que está siendo activamente investigado sobre todo en los últimos años.

También implica que teoría de cuerdas no tiene constantes fundamentales adimensionales, todo son vevs de campos dinámicos. Por esta razón, teoría de cuerdas tiene sólo una escala fundamental, la escala de la cuerda Ms. Todas las escalas de un modelo están relacionadas con Ms por medio de los vevs de los diferentes moduli (que fijan los ratios de escalas, que son parámetros adimensionales). Así, en teoría de cuerdas la escala electrodébil y la escala de Planck serían ambas escalas derivadas de la escala de la cuerda. Volveremos sobre esto cuando avancemos en la compactificación a 4d...