Teorías a temperatura finita, taquiones winding y transición de Hagedorn

Como comentamos al final de la entrada anterior, en teoría de cuerdas a la temperatura de Hagedorn se instaura una inestabilidad que sugiere la existencia de una transición de fase. Esta entrada explica esta idea, que está curiosamente relacionada con ideas de compactificación en un círculo, los estados de winding, y los taquiones.

Comenzamos recordando un hecho general (no sólo válido en teoría de cuerdas, sino en teoría de campos o Mecánica Cuántica) que una teoría en d dimensiones en equilibrio térmico a temperatura finita T es equivalente a la teoría en (d+1) dimensiones, con la dimensión adicional compactificada en un círculo de longitud β=1/T. Para entender esto, consideramos la función de partición termodinámica de la teoría, que corresponde a sumar sobre sus estados (etiquetados con un índice i) con un peso dado por la exponencial de Boltzman

donde H es el hamiltoniano de la teoría en d dimensiones. Esta última fórmula se puede reinterpretar mediante la introducción de una dimensión adicional, un tiempo euclídeo, de forma que el operador e^{-βH} propaga los estados durante un tiempo (euclídeo) β. El hecho de que después de esta propagación el estado final deba ser igual que el inicial, implica que esta dimensión de tiempo euclídeo está compactificada en un círculo de longitud β.

Aplicando esta receta general a teoría de cuerdas, la termodinámica de cuerdas se obtiene compactificando la teoría en un circulo de radio β/2π=1/(2πT), interpretado como un tiempo euclídeo. Usando la fórmula de masas que ya conocemos, tenemos

Centrándonos en los estados de winding w=1,-1, k=0, y sin osciladores, su masa es

Vemos que para temperaturas mayores que la de Hagedorn, T>4π (α')^{1/2}, el estado se convierte en taquiónico. Recordando la entrada "¡Taquiones!", esto indica que la teoría sufre una inestabilidad, que este contexto se interpreta como una transición de fase. Dado que no se entiende cuál el punto final de la inestabilidad asociadas a los taquiones de cuerda cerrada, la naturaleza de la fase a la que se accede a esas temperaturas es aún misteriosa...