Feliz Navidad

Saludos

Como ya comenté un par de veces, no tendremos clase ni el jueves 17 ni el viernes 18, para que podáis asistir sin trabas a las charlas del Christmas Workshop (muy recomendables).

El curso comenzará de nuevo en Enero, y confirmaré la fecha en cuanto la tenga más clara.

Hasta entonces, espero que paséis unas felices fiestas:)

Ejercicio 6

Saludos

Os dejo el ejercicio 6, que ayuda a entender cómo se construye el producto tensorial de groundstates R en los sectores RR de las cuerdas tipo II, y en particular obtener el espectro de tensores antisimétricos RR de estas teorías.

Temas en lecture notes

Saludos

He recibido por email la buena sugerencia de ir colgando aquí la información sobre las secciones de mis notas que vamos cubriendo en clase. Os puede servir como repaso ir husmeándolas (o como ayuda para los ejercicios). De momento cuelgo dónde encontrar los temas que hemos visto hasta ahora.

- Introducción general: Secciones 1.1 a 1.5 de la lecture Overview: String theory in perturbation theory

- Cuantización de la cuerda bosónica cerrada: notas colgadas en el blog.

- Invariancia modular: Lecture 2: Modular invariance, con sección 4.3 a nivel cualitativo

- Compactificación toroidal de la cuerda bosónica cerrada: Generalidades en secciones 1.5 a 1.7 de la lecture Overview: String theory in perturbation theory, y Lecture 3: Compactification and T-duality (excepto invariancia modular y sección 3.2, i.e. excepto páginas 13-19)

- Supercuerdas tipo II: Sección 1 de Lecture 4: Type II Superstrings (sin los comentarios finales)

- Supercuerdas heteróticas: Sección 1 de Lecture 5: Heterotic Superstrings

- Cuerdas abiertas: Lecture 6: Open Strings, aunque no todo.

En la cuantización, sección 2, llegamos por argumentos físicos directamente a la fórmula (17), el hamiltoniano local en 2d. Vimos la open-closed duality (sección 2.6) sólo a nivel cualitativo.

- Supercuerda tipo I: Lecture 7: Type I Superstring, aunque sin los cálculos de la sección 3.1.

Gracias por la sugerencia y seguiré informando.

Ejercicio 5

Saludos

Os dejo el ejercicio 5, que trata sobre el primer nivel masivo de una supercuerda abierta (para una cuerda bosónica abierta, el ejercicio correspondiente es implícitamente parte del ejercicio 2, por eso no lo encargo aquí). Las pistas permiten encontrar los trucos adecuados en cada momento, de forma que resulte sencillo.

Supersimetría, GSO, y supercuerdas tipo 0

Queridos cuerdonautas:

Como comentamos en clase, las supercuerdas están definidas por el hecho de contener fermiones y supersimetría en la worldsheet, en la teoría 2d. Esto no implica necesariamente que haya supersimetría o fermiones en el espacio-tiempo. Estas propiedades de las supercuerdas tipo II emergen de la proyección GSO! Por ejemplo, el hecho de que haya fermiones espacio-temporales proviene de que la cuerda contiene sectores de tipo NS-R y R-NS. Igualmente, el hecho de tener supersimetría proviene de la truncación especial del espectro impuesta por la GSO. Es cierto que la proyección GSO nos vino sugerida como una manera de obtener una teoría con invariancia modular, y por tanto de obtener una teoría de cuerdas consistente. Pero no es la única!

Existen supercuerdas, denominadas de tipo 0, cuya amplitud 1-loop es una función invariante modular diferente. Centrándonos en la parte de los fermiones de la worldsheet, es

Al nivel de construir el espectro, corresponde grosso modo a no hacer ninguna proyección GSO, y a combinar left y right en sectores NS-NS y RR, pero no NS-R ni R-NS. Claramente esta teoría no tiene fermiones en el espacio-tiempo, y consecuentemente no tiene supersimetría. Es fácil ver que además contiene un taquión (se obtiene pegando el groundstate NS en las partes left y right).

A pesar de todo ello, esta supercuerda no tiene por qué ser inconsistente. La ausencia de supersimetría no es una inconsistencia, y la presencia de un taquión sólo quiere decir que estamos expandiendo alrededor del punto equivocado... Como de costumbre para taquiones de cuerda cerrada, no se sabe si existe un mínimo estable alrededor del que se pueda expandir la teoría.

Es interesante mencionar que las supercuerdas tipo o se han conseguido conectar con la teoría M y otra supercuerdas (supersimétricas) usando dualidades, ver este paper . Se ha sugerido que entonces el taquión indicaría que el espacio-tiempo es inestable frente a la creación de burbujas de vacío! (del tipo estudiada por Witten en Nucl.Phys.B195:481,1982).

Lo que hemos comentado sobre GSO y supersimetría sirve también para las heteróticas. Hay supercuerdas heteróticas cuya amplitud 1-loop es una función invariante modular distinta de las que vimos en clase. Todas contienen fermiones espacio temporales, aunque no tienen supersimetría, y hay alguna que no tiene taquiones.

A pesar de que existen tantas supercuerdas, las más estudiadas son las 5 supercuerdas supersimétricas en el espacio tiempo (las tipo IIA y IIB, las heteróticas E8xE8 y SO(32) y la tipo I). Quizás las no supersimétricas están esperando su revolución...

Ejercicio 4

Os propongo el ejercicio 4, que utiliza invariancia modular para fijar las energías de punto zero que se generan por el normal ordering de los osciladores. El resultado es el mismo que se obtiene (más facilmente) mediante la (polémica) regularización que usamos en clase:)

Teorías a temperatura finita, taquiones winding y transición de Hagedorn

Como comentamos al final de la entrada anterior, en teoría de cuerdas a la temperatura de Hagedorn se instaura una inestabilidad que sugiere la existencia de una transición de fase. Esta entrada explica esta idea, que está curiosamente relacionada con ideas de compactificación en un círculo, los estados de winding, y los taquiones.

Comenzamos recordando un hecho general (no sólo válido en teoría de cuerdas, sino en teoría de campos o Mecánica Cuántica) que una teoría en d dimensiones en equilibrio térmico a temperatura finita T es equivalente a la teoría en (d+1) dimensiones, con la dimensión adicional compactificada en un círculo de longitud β=1/T. Para entender esto, consideramos la función de partición termodinámica de la teoría, que corresponde a sumar sobre sus estados (etiquetados con un índice i) con un peso dado por la exponencial de Boltzman

donde H es el hamiltoniano de la teoría en d dimensiones. Esta última fórmula se puede reinterpretar mediante la introducción de una dimensión adicional, un tiempo euclídeo, de forma que el operador e^{-βH} propaga los estados durante un tiempo (euclídeo) β. El hecho de que después de esta propagación el estado final deba ser igual que el inicial, implica que esta dimensión de tiempo euclídeo está compactificada en un círculo de longitud β.

Aplicando esta receta general a teoría de cuerdas, la termodinámica de cuerdas se obtiene compactificando la teoría en un circulo de radio β/2π=1/(2πT), interpretado como un tiempo euclídeo. Usando la fórmula de masas que ya conocemos, tenemos

Centrándonos en los estados de winding w=1,-1, k=0, y sin osciladores, su masa es

Vemos que para temperaturas mayores que la de Hagedorn, T>4π (α')^{1/2}, el estado se convierte en taquiónico. Recordando la entrada "¡Taquiones!", esto indica que la teoría sufre una inestabilidad, que este contexto se interpreta como una transición de fase. Dado que no se entiende cuál el punto final de la inestabilidad asociadas a los taquiones de cuerda cerrada, la naturaleza de la fase a la que se accede a esas temperaturas es aún misteriosa...

La temperatura de Hagedorn y termodinámica de cuerdas

Es fácil convencerse de que el número de estados de oscilación de una cuerda aumenta muy rápidamente según subimos a niveles más altos. Por ejemplo, ya en el ejercicio 2 se observa que hay más estados en el primer nivel que en el sector massless.

Podemos ser más cuantitativos en caracterizar este aumento, p.ej. para la cuerda bosónica cerrada en el espacio de Minkowski 26d. Si denotamos N el valor del operador número para un estado del espacio de Hilbert left, el número de estados está relacionado con las posibles maneras de repartir esas N unidades de oscilación entre los posibles osciladores elementales (las α's). El número de estas particiones depende de factoriales, y crece rápidamente. De hecho para N grande el número de particiones de N entre osciladores asociados a "b" direcciones espacio-temporales, se comporta como

En la cuerda bosónica cerrada tenemos que hacer estas particiones para los left y los right, el número de particiones es el cuadrado de la expresión anterior. Metiendo que b=24 y la fórmula de masas (para N grande) M=(2N/α')^{1/2}, el número de estados al nivel de energías N es

Este crecimiento exponencial es muy peculiar y lleva al siguiente fenómeno. Cuando uno considera una teoría a temperatura finita T, las contribuciones de un estado de energía (0 masa) M están suprimidas por la exponencial de Boltzmann e^{-M/T}, de forma que la termodinámica está dominada por los estados ligeros del sistema. En teoría de cuerdas, sin embargo, el crecimiento exponencial en el número de estados hace que a cierta temperatura esta degeneración exponencial contrarreste la supresión exponencial de Boltzmann. Esta temperatura, denominada de Hagedorn, se obtiene igualando las exponenciales y corresponde a

A esta temperatura la dinámica está dominada justamente por los estados más excitados de la cuerda. Esto cambia muchas de las intuiciones termodinámicas usuales!

Por ejemplo, la intepretación más inmediata (que cualificaremos más adelante) es que la temperatura de Hagedorn es una TEMPERATURA MÁXIMA para teoría de cuerdas. Si uno intenta dar más calor al sistema, esa energía se tiene que repartir entre tantos estados accesibles (por la equipartición de la energía) que no conlleva ningún aumento de la temperatura (que puede verse como medida de la energía por estado del sistema).

En realidad, se piensa que la temperatura de Hagedorn indica una transición de fase en la que cambia la naturaleza de los grados de libertad fundamentales, es decir una temperatura máxima para la fase descrita por los grados de libertad usuales de la teoría. Como veremos en una próxima entrada, la transición está asociada a la aparición de una inestabilidad (un taquión) y de momento se desconoce cuáles son los grados de libertad adecuados a altas temperaturas...

Ejercicio 3

Os dejo aquí el ejercicio 3, que extiende lo que estamos viendo en clase sobre compactificación en un círculo al caso de compactificación a 4d, en la cuerda bosónica cerrada. La última sección permite entender la relación entre la escala de la cuerda Ms y la escala de Planck en 4d. Este tipo de relación se volverá más interesante todavía en cuanto aprendamos a incorporar interacciones gauge no abelianas, en los temas de cuerdas heteróticas y los de D-branas.

El dilatón es un campo modulus

Ayer comentamos en clase que el radión es un ejemplo de los denominados campos moduli, campos escalares de la teoría espacio-temporal, con potencial idénticamente cero, en particular sin término de masa. Los valores de expectación en el vacío (vevs) de los campos moduli típicamente corresponden a algún parámetro continuo del modelo o la compactificación. Por ejemplo, el vev del radión en compactificaciones de una dimensión en el círculo corresponde al tamaño del círculo de compactificación.

Como se ha señalado en un comentario a otra entrada, el dilatón es otro ejemplo de un campo modulus. Es un escalar sin masa, y se puede verificar que su potencial es idénticamente cero. Una pregunta natural es qué parámetro del modelo está determinado por el vev del dilatón. Como el dilatón existe en la teoría incluso antes de compactificar, tiene que corresponder a un parámetro que exista en la teoría incluso cuando se formula en el espacio de Minkowski. La respuesta es que el vev del dilatón está relacionado con la constante de acoplamiento gs de la cuerda, que controla el peso que se asocia a los vértices de interacción fundamentales.

Una manera de verlo es describir la propagación de una cuerda en un background general φ(x) del dilaton. Aunque no es obvio, esto viene descrito por una modificación de la acción en la worldsheet, añadiendo un término

donde R[g] es el escalar de curvatura en la worldsheet. Este acoplo es una manera natural de acoplar un escalar espacio temporal a los grados de libertad de la worldsheet (hay otras razones, que no menciono ahora, para esta propuesta). Si el background del dilatón es constante, es decir un vev, se puede sacar de la integral. En 2d la integral del escalar de curvatura es un invariante topológico, la característica de Euler χ,

(donde g es el numero de asas) con la que estaréis familiarizados los que hayáis pensado en el ejercicio 1. En presencia de un vev del dilatón, la acción de la worldsheet pesca un término aditivo constante dado por χφ. Esto implica que al calcular cualquier amplitud, en la path integral tendremos un peso dado por exp(χφ). Esto coincide exactamente con los resultados del ejercicio 1, con la identificación

Esta relación implica que el vev del dilatón corresponde a la constante de acoplamiento de la cuerda.

El hecho de que los parámetros en teorías de cuerdas sean vevs de campos dinámicos implica que es concevible que se determinen de forma dinámica, mediante mecanismos que generen potenciales para los campos moduli. Es el denominado problema de la estabilización de moduli, que está siendo activamente investigado sobre todo en los últimos años.

También implica que teoría de cuerdas no tiene constantes fundamentales adimensionales, todo son vevs de campos dinámicos. Por esta razón, teoría de cuerdas tiene sólo una escala fundamental, la escala de la cuerda Ms. Todas las escalas de un modelo están relacionadas con Ms por medio de los vevs de los diferentes moduli (que fijan los ratios de escalas, que son parámetros adimensionales). Así, en teoría de cuerdas la escala electrodébil y la escala de Planck serían ambas escalas derivadas de la escala de la cuerda. Volveremos sobre esto cuando avancemos en la compactificación a 4d...

Nuevo horario

Después de comentarlo en clase y por email, confirmamos el nuevo horario:

- Martes de 16,30h a 17,30h

- Jueves de 15,30h a 17,00h

- Viernes de 15,30h a 17,00h

Lo he comunicado a los responsables del máster para que lo cambien en la web. También he actualizado la entrada de presentación del curso en el blog.

Invariancias gauge en el espacio-tiempo

En la cuantización en el gauge del cono de luz, todos los estados que se obtienen en la cuantización son estados físicos de la teoría. Esto tiene sus ventajas. Pero a veces también resulta útil llevar a cabo la cuantización en un formalismo covariante. Por ejemplo, para verificar que la teoría tiene ciertas invariancias gauge en el espacio-tiempo. Es decir, que en el sector sin masa, la partícula descrita por un tensor simétrico de dos índices sin traza tiene una invariancia gauge que permite interpretarlo como un gravitón (se transforma como una métrica bajo cambio de coordenadas en el espacio-tiempo). Igualmente, el tensor antisimétrico de dos índices se comporta como un potencial gauge generalizado (es decir, describiéndolo como una 2-forma B2, tiene una invariancia gauge B2(X) -> B2(X) + dΛ1(X), donde Λ1(X) es un parámetro de transformación gauge dado por una 1-forma (dependiente del punto del espacio-tiempo).

Una forma sencilla de cuantización covariante es la denominada "old covariant quantization", que es similar a la cuantización de Gupta-Bleuler del campo electromagnético. La idea es fijar el gauge conforme y obtener las ligaduras, pero no resolverlas explícitamente. En lugar de eso, se procede a la cuantización de TODOS los campos coordenada X(σ,t), y construir el espacio de Hilbert de este sistema. En este espacio de Hilbert se definen como estados físicos aquellos que obedecen las constraints, en un sentido cuántico (es decir, aquellos que son aniquilados por un conjunto maximal de constraints). Podéis encontrar un tratamiendo fácil de seguir en el segundo capítulo de las notas de Sunil Mukhi, páginas 43-47 para la cuerda bosónica abierta (que es como fijarse sólo en un lado de una cuerda bosónica cerrada, ya lo veremos) y 53-55 para la cuerda bosónica cerrada (más esquemático).

La acción efectiva de los campos ligeros en el espacio-tiempo refleja estas invariancias gauge, de modo que corresponde a gravedad 26d acoplada a un campo gauge generalizado de dos índices, a un escalar sin masa ni energía potencial (el dilatón) y a un taquión. Tomándolo de la página 52 de las notas de Mukhi, tenemos

Es interesante señalar que la invariancia gauge en el espacio-tiempo es una propiedad que emerge de la teoría de cuerdas. No está impuesta "a mano" en la definición de la teoría. Es un ejemplo de cómo ciertos conceptos físicos profundos que aparecen sorprendentemente de forma natural en la teoría.

Ejercicio 2

Os propongo el ejercicio 2, que trata sobre el primer nivel masivo de la cuerda bosónica cerrada y sus propiedades de transformación bajo el grupo de Lorentz.

¡Taquiones!

Como vimos en clase, la cuerda bosónica cerrada contiene en su espectro de modos de oscilación un estado que se interpreta en el espacio-tiempo como una partícula con masa cuadrado negativa, un taquión. Esto hace que la teoría tenga ciertas patologías (que estarán ausentes en las supercuerdas, que no continen taquiones, lo veremos en detalle).

Sin embargo, merece la pena detenerse a pensar en la interpretación de la existencia de un taquión en la teoría. Contrariamente a las descripciones ingenuas en ciertos libros de divulgación, los taquiones no describen partículas que se propagan a velocidad mayor que la de la luz en el vacío. La interpretación correcta se obtiene utilizando una visión de teoría de campos. La masa cuadrado de una partícula es en este lenguaje la derivada segunda del potencial, p.ej. en

Donde hemos imaginado el potencial como una función que expandimos en serie de Taylor alrededor de φ=0. Un taquión es un campo cuyo potencial tiene una derivada segunda negativa. Esto indica que estamos expandiendo la teoria alrededor de un máximo del potencial, y no de un mínimo. Éste es un punto inestable, y lleva a divergencias (infrarrojas) en cuanto consideramos alguna fluctuación del campo.

La solución del problema está clara, lo que hay que hacer es primero encontrar un mínimo del potencial, sentarnos ahí, y expandir la teoría alrededor de ese punto. Alrededor de ese punto, no hay ninguna masa cuadrado negativa. Un taquión es simplemente un signo de que se está intentando expandir la teoría alrededor de un punto inestable, un máximo del potencial.

Si os fijáis, el campo de Higgs del Modelo Estándar es un taquión. Simplificando un poco, su acción es del tipo de la de arriba, concretamente la podemos escribir

donde μ es real (es decir, con cuadrado positivo). Alrededor de φ=0 el Higgs es un taquión porque estamos expandiendo alrededor de un máximo del potencial. La Física correcta se obtiene buscando el mínimo, i.e. φ=v, y expandiendo ahí, donde la teoría es estable y por tanto no hay ningún taquión.

En teoría de cuerdas la interpretación de los taquiones es la misma. De modo que para eliminarlos uno debería calcular el potencial completo del taquión, expandir la teoría alrededor del mínimo y obtener la Física correspondiente. Aunque no es sencillo, este problema ha llegado a entenderse para ciertos taquiones, como los que aparecen en las cuerdas bosónicas abiertas (paciencia, llegaremos ahí...). Sin embargo, para los taquiones de la cuerda bosónica cerrada, el tema está mucho más oscuro, ni siquiera está claro que exista un mínimo...!

A pesar de su estudio intensivo durante años, las teorías de cuerdas guardan todavía muchos de sus secretos...

Cuantización de la cuerda bosónica cerrada

He preparado unas notas sobre la cuantización de la cuerda bosónica cerrada, tal como la estoy explicando en clase. Difieren un poco (en la parte de gauge fixing que vimos ayer) de las notas colgadas en la página web, y de la cuantización que se hace en la sección 1.2 del Polchinski. Aunque el resultado es equivalente, en esta manera de presentarlo se hace más énfasis en el papel de la simetría conforme. Os dejo aquí el enlace a las nuevas notas. Podéis mirarlo también en el libro de Kiritsis.

Actualización a 9 de Diciembre: He corregido algunas erratas flagrantes que me habéis indicado. A buen seguro quedan otras, espero que no tan "cantosas":)

Ejercicio 1

Aquí os dejo el ejercicio 1, que contabiliza para la evaluación del curso. Es sencillo, y si tenéis dudas podemos comentarlo.

Me podéis enviar la solución por email, dármela en clase, o dejármela en mi casillero de correo en el módulo C-XVI.

Bibliografía comentada y referencias

El material del curso seguirá bastante fielmente mis notas de clase disponibles en mi página web. Cuando no sea así, lo indicaré en este blog, dando algunas referencias complementarias si es necesario.

Como referencias generales para el curso, existen varios libros de texto (recientes o no tanto) que pueden resultar útiles.

- Los dos volúmenes del libro "String theory" de Polchinski son un buen libro de referencia. El único problema es que utiliza un formalismo covariante en los cálculos, que requiere la introducción temprana de toda la tecnología de teorías de campos conformes en 2d. En el curso utilizaramos un gauge fixing más sencillo, pero no covariante, el gauge del cono de luz, que permite obtener los resultados físicos más relevantes de una manera más sencilla. Aún asi, el Polchinski es un buen libro de cabecera para cualquier cuerdoso en ciernes.

- El Green, Schwarz, Witten es un libro más antiguo, y ha sido superado por el Polchinski en casi todos los aspecto. Una excepción es que el segundo volumen es la referencia más útil para el estudio de compactificaciones y geometría de los espacios Calabi-Yau.

- El libro de Zwiebach introduce muchos aspectos de la cuerda bosónica de una manera bastante pedagógica. De hecho, se precia de no requerir conocimientos previos sobre teoría cuántica de campos o relatividad general. Puede resultar útil para los primeros temas del curso, pero no más allá, ya que no cubre las supercuerdas.

- Existen además otros libros, como el de Kiritsis, o el de Becker, Becker y Schwarz, que son útiles para algunos aspectos concretos, aunque su mayor ventaja es cubrir algunos aspectos avanzados, que realmente no cubriremos en el curso.

- Además de los libros de texto, existen varios reviews útiles en los archivos. Una lista bastante exhaustiva en la que podéis husmear está en la wiki de Teoría de Cuerdas

Si en algún tema existe alguna referencia que sea particularmente útil, la mencionaré en el blog.

¡Saludos y buena lectura!

Presentación de la asignatura

La finalidad de la asignatura es proporcionar una introducción a la teoría de cuerdas, describiendo los aspectos más importantes como los diversos tipo de supercuerdas, la compactificación a cuatro dimensiones, las D-branas y algunas de sus aplicaciones. El énfasis está en introducir los conceptos del punto de vista más físico, evitando algunos de los escollos más técnicos y matemáticos. Debido a ello, el curso no cubre algunos temas como las teorías de campos conformes en dos dimensiones, las teorías de supergravedad, etc, que requerirían cursos completos por sí mismos.

El curso sigue bastante fielmente el patrón de las notas disponibles en mi página web, aunque por limitaciones de tiempo nos saltaremos algunas secciones (o algunos temas). Podéis ver más bibliografía general comentada en otra entrada del blog.

El horario de los cursos es: martes de 16,30h a 17,30h; jueves de 15,30h a 17,00h; y viernes de 15,30h a 17,00h; del 17 de noviembre al 20 de enero.

La evaluación de la asignatura se hará mediante ejercicios que iré proponiendo y publicando en este blog, y que servirán para completar algunos puntos del material expuesto en las clases (o para extenderlo en direcciones más avanzadas).

Me reservo la opción de plantear también la elaboración de un trabajo final, dependiendo de los calendarios académicos, etc. Os comento además que la participación (o no) en el blog no se tendrá en cuenta a la hora de poner nota.

Aún así, os animo a usar esta plataforma!

Presentación del profesor

Me parece justo empezar con una presentación, en tanto que profesor de la asignatura e investigador del tema de las cuerdas

Mis coordenadas son:

Angel Uranga

Despacho C-XVI-317

email: angel.uranga@uam.es

No planeo tener un horario fijo de tutorías. En general estoy en mi despacho en horario laboral, y estaré encantado de atenderos en cualquier momento. Si queréis aseguraros de "pillarme", podéis comentármelo en clase o contactarme por email.

Soy investigador del CSIS y pertenezco al Instituto de Física Teórica IFT-UAM/CSIC, ubicado en el módulo C-XVI de la Facultad de Ciencias UAM. Me dedico a la investigación en teoría de cuerdas desde hace unos 15 años y me he centrado en el estudio de propiedades de la teoría compactificación de la teoría a cuatro dimensiones, y en la construcción de modelos que reproduzcan (lo más correctamente posible) el Modelo Estándar de Partículas Elementales.

Os sugiero que os animéis a responder a esta entrada con un breve mensaje sobre quiénes sois, cuáles son vuestras motivaciones, intereses y temas de investigación, a fin de conocernos un poco más.

Presentación del blog

Este es un blog asociado al curso de máster "Introducción a Teoría de Cuerdas" del Departamento de Física Teórica de la Universidad Autónoma de Madrid. Mi idea, como profesor del mismo, es ir publicando información que puede ser útil para el seguimiento del curso, así como abrir un foro para comentarios, dudas, sugerencias... por parte de los asistentes al curso (matriculados o no). Es la primera vez que lo hago, de modo que tiene algo de experimento. Espero que resulte útil.